第339章 阶段性成果 二
万里长征终於走完了第一步。
对於绝大多数数学家来说，如果能独立打通[10^300万，+∞)这样一个庞大区间的哥德巴赫猜想证明，並且还顺手发明了“概率论+圆法”这种全新的数学武器。那绝对会立刻停下来，开香檳庆祝，然后迫不及待地把这几百页的推导过程整理成论文，去《数学年刊》上狂捞一波学术声望。
但徐辰没有。
他的目標，是那座山峰的绝对顶点——完整证明哥德巴赫猜想。
目前10^300万这个数字，仅仅是概率圆法能解决的最容易的超大数的那一部分，当这个方法推广到越来越小的数字时，其计算难度也会越来越高，可以说距离完整证明还远得很。
所以，徐辰没有急著去整理论文，而是马不停蹄地开始了第二阶段的攻坚：
……
然而，当徐辰真正著手去构建这套方法时，他才发现，这其中的难度，远比他想像的要大得多。
在学术界，提出一个猜想、构思一个全新的框架，往往比解决一个具体的难题要困难得多。
之前那个[10^300万，+∞)区间的证明思路，虽然是他自己推导出来的，但大方向毕竟是拉福格教授指点的。那是菲尔兹奖得主几十年数学经验沉淀下来的直觉判断，相当於有人告诉了他“往东走肯定有路”。
但现在，徐辰要做的，是自己去发明一个“指南针”，去找到这个方法在其他区间的“可解性”。
这就完全没有任何前人的经验可以借鑑了。
他必须独自面对一片未知的数学荒原，在没有任何路標的情况下，硬生生地蹚出一条路来。
这不仅仅是数学能力的考验，更是对一个学者“学术品味”和“战略眼光”的终极试炼。
……
在学术界，绝大多数博士生之所以离不开导师，並不是因为导师解题比他们快。
相反，很多老教授的计算能力和反应速度，早就比不上年轻力壮的学生了。
但导师之所以是导师，是因为他们“成功过”。他们知道在面对一个未知难题时，什么样的思路是靠谱的，什么样的方向是死胡同。他们就像是经验丰富的教练，虽然自己跑不动了，但一眼就能看出运动员的动作哪里不对，该怎么调整才能发挥出最大的潜能。
而现在的徐辰，正在经歷一场痛苦的蜕变。
他既是那个在赛场上拼命奔跑的运动员，又要逼著自己跳出局外，去做那个冷静分析局势、制定战略的教练。
这种“身兼数职”的能力，正是通往“大数学家”的必经之路。
只有当你不再依赖別人的指引，能够独立判断方向、独立设计路线时，你才真正具备了衝击菲尔兹奖的资格。
……
接下来的一周，徐辰几乎把所有的时间都耗在了这套方法的构建上。
他尝试了各种数学工具：从范畴论的同调代数，到几何分析的里奇流，甚至还引入了资讯理论中的熵增原理。
他试图找到一个底层的数学指標，能够量化“概率圆法”在不同区间內的收敛性。
“如果能定义一个『圆法熵』……”
徐辰在草稿纸上画了一个复杂的拓扑图。
“当这个熵值小於某个临界点时，叠代就一定收敛；大於临界点时，误差项就会发散。”
想法很美好，但现实很骨感。
当他试图把这个“圆法熵”应用到[10^200万，10^300万]这个稍微低一点的能级区间时，计算结果却让他大失所望。
那个指標非常得不稳定！
在某些局部点上，它显示收敛；但在另一些点上，它又莫名其妙地发散了。
他终於意识到问题出在哪里了。
他试图提炼规律的“样本”，实在太少了！
目前，他手里只有[10^300万，+∞)这一个成功的案例。
他现在的处境，就像是试图通过解剖一只麻雀，去总结出所有鸟类的飞行规律。
虽然麻雀也是鸟，但它代表不了老鹰，更代表不了企鹅。
仅仅依靠[10^300万，+∞)这一个区间的成功经验，根本不足以提炼出普適性的规律，反而容易因为样本不足而陷入“过擬合”的谬误。
没有足够多的、在不同尺度下的成功案例作为支撑，他根本无法分辨出，第一阶段的成功，哪些是因为数学方法的普適性，哪些仅仅是因为那个区间的特殊性
……
“看来，想走捷径是不行了。”
徐辰揉了揉发胀的太阳穴，眼神中闪过一丝决绝。
“必须得笨办法，多攒几个样本。”
既然一个区间不够，那就再算一个！
他决定暂时放下那个宏大的“通用方法论”，重新回到苦逼的“搬砖”模式。
他要把概率圆法的適用下限，从 10^300万，硬生生地往下压！
去啃那些更硬、更难算的骨头！
……
不过在开启下一阶段的研究之前，他觉得有必要和拉福格教授同步一下近期的进展。
毕竟，距离九月中旬的“半年之约”已经越来越近了。
……
下午两点，徐辰带著一叠整理好的草稿，敲开了拉福格教授办公室的门。
办公室里不止拉福格一人，还有另一位名叫托马斯的博士生。
此刻，托马斯站在白板前，匯报的正是他博士论文的核心方向——“算术簇上的p-adic霍奇理论”，这同样是朗兰兹纲领中最艰深、最前沿的领域之一。
作为巴黎萨克雷大学数论方向的明星博士生，托马斯在同龄人中绝对算得上是佼佼者。
他年仅二十六岁，却已是法国年轻一代数论学者中的绝对翘楚。他师从拉福格攻读博士的第二年，就在世界顶尖的《数学发明》（inventiones mathematicae）上独立发表过一篇关於朗兰兹纲领局部对应猜想的论文，在整个欧洲数学界都引起了不小的轰动。
在拉福格眼中，托马斯不仅天赋出眾，更难得的是他那股沉稳扎实的钻研劲头。
“……所以，教授，”托马斯指著白板上一组复杂的伽罗瓦表示，眉头紧锁，“我在尝试將仿射空间的周期积分推广到射影簇时，遇到了一个无法绕开的奇点发散问题。我查阅了方丹和梅斯林的所有相关文献，但他们的理论似乎都无法直接应用在这里。”
拉福格的脸上露出一丝讚许。这个问题非常棘手，但托马斯能精准地定位到问题的核心，並尝试在前人的基础上进行推广，这正是他希望看到的、属於顶尖数学家的思维方式。这孩子，未来极有可能会成为法兰西数学学派的又一根顶樑柱。
……
对於绝大多数数学家来说，如果能独立打通[10^300万，+∞)这样一个庞大区间的哥德巴赫猜想证明，並且还顺手发明了“概率论+圆法”这种全新的数学武器。那绝对会立刻停下来，开香檳庆祝，然后迫不及待地把这几百页的推导过程整理成论文，去《数学年刊》上狂捞一波学术声望。
但徐辰没有。
他的目標，是那座山峰的绝对顶点——完整证明哥德巴赫猜想。
目前10^300万这个数字，仅仅是概率圆法能解决的最容易的超大数的那一部分，当这个方法推广到越来越小的数字时，其计算难度也会越来越高，可以说距离完整证明还远得很。
所以，徐辰没有急著去整理论文，而是马不停蹄地开始了第二阶段的攻坚：
……
然而，当徐辰真正著手去构建这套方法时，他才发现，这其中的难度，远比他想像的要大得多。
在学术界，提出一个猜想、构思一个全新的框架，往往比解决一个具体的难题要困难得多。
之前那个[10^300万，+∞)区间的证明思路，虽然是他自己推导出来的，但大方向毕竟是拉福格教授指点的。那是菲尔兹奖得主几十年数学经验沉淀下来的直觉判断，相当於有人告诉了他“往东走肯定有路”。
但现在，徐辰要做的，是自己去发明一个“指南针”，去找到这个方法在其他区间的“可解性”。
这就完全没有任何前人的经验可以借鑑了。
他必须独自面对一片未知的数学荒原，在没有任何路標的情况下，硬生生地蹚出一条路来。
这不仅仅是数学能力的考验，更是对一个学者“学术品味”和“战略眼光”的终极试炼。
……
在学术界，绝大多数博士生之所以离不开导师，並不是因为导师解题比他们快。
相反，很多老教授的计算能力和反应速度，早就比不上年轻力壮的学生了。
但导师之所以是导师，是因为他们“成功过”。他们知道在面对一个未知难题时，什么样的思路是靠谱的，什么样的方向是死胡同。他们就像是经验丰富的教练，虽然自己跑不动了，但一眼就能看出运动员的动作哪里不对，该怎么调整才能发挥出最大的潜能。
而现在的徐辰，正在经歷一场痛苦的蜕变。
他既是那个在赛场上拼命奔跑的运动员，又要逼著自己跳出局外，去做那个冷静分析局势、制定战略的教练。
这种“身兼数职”的能力，正是通往“大数学家”的必经之路。
只有当你不再依赖別人的指引，能够独立判断方向、独立设计路线时，你才真正具备了衝击菲尔兹奖的资格。
……
接下来的一周，徐辰几乎把所有的时间都耗在了这套方法的构建上。
他尝试了各种数学工具：从范畴论的同调代数，到几何分析的里奇流，甚至还引入了资讯理论中的熵增原理。
他试图找到一个底层的数学指標，能够量化“概率圆法”在不同区间內的收敛性。
“如果能定义一个『圆法熵』……”
徐辰在草稿纸上画了一个复杂的拓扑图。
“当这个熵值小於某个临界点时，叠代就一定收敛；大於临界点时，误差项就会发散。”
想法很美好，但现实很骨感。
当他试图把这个“圆法熵”应用到[10^200万，10^300万]这个稍微低一点的能级区间时，计算结果却让他大失所望。
那个指標非常得不稳定！
在某些局部点上，它显示收敛；但在另一些点上，它又莫名其妙地发散了。
他终於意识到问题出在哪里了。
他试图提炼规律的“样本”，实在太少了！
目前，他手里只有[10^300万，+∞)这一个成功的案例。
他现在的处境，就像是试图通过解剖一只麻雀，去总结出所有鸟类的飞行规律。
虽然麻雀也是鸟，但它代表不了老鹰，更代表不了企鹅。
仅仅依靠[10^300万，+∞)这一个区间的成功经验，根本不足以提炼出普適性的规律，反而容易因为样本不足而陷入“过擬合”的谬误。
没有足够多的、在不同尺度下的成功案例作为支撑，他根本无法分辨出，第一阶段的成功，哪些是因为数学方法的普適性，哪些仅仅是因为那个区间的特殊性
……
“看来，想走捷径是不行了。”
徐辰揉了揉发胀的太阳穴，眼神中闪过一丝决绝。
“必须得笨办法，多攒几个样本。”
既然一个区间不够，那就再算一个！
他决定暂时放下那个宏大的“通用方法论”，重新回到苦逼的“搬砖”模式。
他要把概率圆法的適用下限，从 10^300万，硬生生地往下压！
去啃那些更硬、更难算的骨头！
……
不过在开启下一阶段的研究之前，他觉得有必要和拉福格教授同步一下近期的进展。
毕竟，距离九月中旬的“半年之约”已经越来越近了。
……
下午两点，徐辰带著一叠整理好的草稿，敲开了拉福格教授办公室的门。
办公室里不止拉福格一人，还有另一位名叫托马斯的博士生。
此刻，托马斯站在白板前，匯报的正是他博士论文的核心方向——“算术簇上的p-adic霍奇理论”，这同样是朗兰兹纲领中最艰深、最前沿的领域之一。
作为巴黎萨克雷大学数论方向的明星博士生，托马斯在同龄人中绝对算得上是佼佼者。
他年仅二十六岁，却已是法国年轻一代数论学者中的绝对翘楚。他师从拉福格攻读博士的第二年，就在世界顶尖的《数学发明》（inventiones mathematicae）上独立发表过一篇关於朗兰兹纲领局部对应猜想的论文，在整个欧洲数学界都引起了不小的轰动。
在拉福格眼中，托马斯不仅天赋出眾，更难得的是他那股沉稳扎实的钻研劲头。
“……所以，教授，”托马斯指著白板上一组复杂的伽罗瓦表示，眉头紧锁，“我在尝试將仿射空间的周期积分推广到射影簇时，遇到了一个无法绕开的奇点发散问题。我查阅了方丹和梅斯林的所有相关文献，但他们的理论似乎都无法直接应用在这里。”
拉福格的脸上露出一丝讚许。这个问题非常棘手，但托马斯能精准地定位到问题的核心，並尝试在前人的基础上进行推广，这正是他希望看到的、属於顶尖数学家的思维方式。这孩子，未来极有可能会成为法兰西数学学派的又一根顶樑柱。
……